Doğal Sayılar
DOĞAL SAYILAR
DOĞAL SAYILAR KÜMESİ VE ONLUK SAYMA SİSTEMİ:
Denk Kümeler ve Doğal Sayılar:
Kümelerin eleman sayısını gösteren 0 , 1 , 2 , 3 . . gibi sayıların her birine doğal sayı denir , doğal sayılar sıfırdan başlar , sonsuza kadar devam eder . Doğal sayıların oluşturduğu kümeye Doğal Sayılar Kümesi denir , N ile gösterilir .
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . . }
Sayma Sayıları:
Suluova da kaç tane ilköğretim okulu vardır? Sorusuna karşılık verilen "bir , iki , üç . . . " sayılarına sayma sayıları denir . Sayma sayılarının oluşturduğu kümeye sayma sayıları kümesi denir . S ile gösterilir .
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . }
Ayrıca 0Ï S olup
S Ì N veya N É S
dir
Doğal sayıların sayı doğrusu üzerinde gösterilmesi
Bir doğru üzerinde belirli bir nokta ( 0 ) sıfır noktası olmak üzere , sıfır noktasının sağ tarafını eşit aralıklara bölelim . Bu her bir noktayı sırayla 0 , 1 , 2 , 3 . . ile eşleyelim . Doğal sayıların üzerinde gösterildiği bu doğruya sayı doğrusu denir .
Sayı doğrusu üzerindeki bir doğal sayı; solundaki tüm doğal sayılardan küçüktür .
örneğin "7 büyüktür 6" 7>6 veya "6 küçüktür 7" 6<7 ile gösterilir .
Ardışık Sayılar:
Bir doğal sayının bir fazlası olan doğal sayıya o doğal sayının ardışığı denir . Ardışık iki doğal sayı arasında başka bir doğal sayılar yoktur .
4 ün ardışığı 4+1=5 4 < 5
Doğal Sayılarda Sıralama:
Her han gi sayıdaki doğal sayıdan sayı doğrusundaki yerleri göz önüne alınarak en solda bulunan doğal sayı en küçüğüdür .
Bir başka deyişle sayı doğrusu üzerindeki dizilişleri küçükten büyüğe doğru dizilişle aynıdır .
15 < 17 < 21
veya
21 > 17 > 15
dir
İki Doğal Sayı Arasındaki Doğal Sayıların Sayısını Bulma:
İki doğal sayı arasında kaç tane doğal sayı olduğunu bu sayıların farkından 1 çıkararak buluruz .
Örnek:
81 ile 52 arasında kaç tane doğal sayı vardır?
81 - 52 = 29
29 - 1 = 28
28 tane doğal sayı vardır .
DEĞERLENDİRME:
1- 2 , 9 , 13 , 12 , 7 , 6 , 4 , 8 doğal sayılarını sayı doğrusu üzerinde gösterin
2- 29 sayısından sonra gelen ardışık beş tane doğal sayı yazın .
3- 540 , 65 , 373 , 432 , 5 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayın .
4- 54 ile 98 sayıları arasında kaçtane doğal sayı vardır?
5- 2000 yılı ile 1923 yılı arasında kaç yıl vardır .
ONLUK SAYMA SİSTEMİ Sayma işlemi sonucunda bulunan sayıyı yazma ve işlem yapma kolaylığı bakımından en uygun sayma sistemi onluk sayma sistemi . Sayıları onluk sistemde yazmak için on tane rakam kullanılır bu rakamlar
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
bir iki üç dört beş altı yedi sekiz dokuz sıfır
bu rakamlara bir basamaklı doğal sayılar denir .
Sayıda; rakamın bulunduğu yere , basamak denir . Sayı yan yana kaç rakam ile yazılmışsa basamak sayısı da o kadardır . 23 sayısı iki basamaklı bir sayıdır . 3 ün yazıldığı yere birler basamağı , 2 nin yazıldığı yere onlar basamağı denir .
23 = 2 . ( 10 ) + 3 . ( 1 )
23 sayısı 2 onluk ve 1 birlikten oluşur .
Benzer şekilde; 146 sayısı 1 yüzlük , 4 onluk , 6 birlikten oluşur ve
146 = 1 . ( 100 ) + 4 . ( 10 ) + 6 . ( 1 )
şeklinde yazılır .
Onluk gruplar halinde oluşturulan bu sayma düzenine onluk sayma sistemi denir .
Basamaklar , onluk sayma sisteminde sağdan sola doğru; birler , onlar , yüzler , binler , onbinler , yüzbinler , . . diye adlandırılır .
Onluk sayma sisteminde her basamak değeri sağındakinin on katıdır .
Çok büyük sayıların yazılıp okunması için; sayının basamakları , sağdan başlanarak üçerli gruplara ayrılır . Bu grupların her birine bölük denir .
MİLYONLAR BÖLÜĞÜ
BİNLER BÖLÜĞÜ
BİRLER BÖLÜĞÜ
Yüz milyonlar
On milyonlar
Milyonlar
Yüz binler
On binler
Binler
Yüzler
Onlar
Birler
milyonlar binler birler
bölüğü bölüğü bölüğü
654 612 764
birler basamağı
onlar basamağı
yüzler basamağı
binler basamağı
on binler basamağı
yüz binler basamağı
milyonlar basamağı
on milyonlar basamağı
yüz milyonlar basamağı
Çok büyük bir doğal sayı okunurken şu yol izlenir .
1- Sayı , sağdan sola doğru bölüklere ayrılır .
2- En soldaki bölükten başlayarak , bölükteki sayılar okunur , arkasından bölüğün adı söylenir ve sıra ile sağa doğru devam edilir .
3- En sağdaki bölükte bulunan sayı okunur , bölük adı söylenmez .
Bütün basamaklarda sıfır olan bölük okunmaz .
Buna göre 345 , 128 , 307 sayısının okunuşuna yazalım
üç yüz kırk beş milyon yüz yirmi sekiz bin üç yüz yedi
Rakamların Basamak Ve Sayı Değerleri Rakamların basamak değeri Sayıdaki bir rakamın bulunduğu basamağa göre aldığı değere , bu rakamın basamak değeri denir .
2546 basamak değeri
6 . 1 = 6
4 . 10 = 40
5 . 100 = 500
2 . 1000 = 2000
toplam 2546
Not : Basamak değerlerinin toplamı sayının kendisidir .
Rakamın sayı değeri
Rakamın bulunduğu basamağa bağlı olmadan tek başına gösterdiği sayıya , bu rakamın sayı değeri denir .
Rakamın sayı değeri hiç değişmez
758 sayı değeri
8
5
7
olur .
DEĞERLENDİRME:
1- 152 , 123 , 090 sayısının okunuşunu yazın .
2- On milyon üçyüz altı bin kırk üç sayısının rakamla yazılışı nedir?
3- 23901 sayısının basamak ve sayı değerlerini yazın .
4- 1050195 sayısında sayı değeri aynı olan kaç basamak vardır?
ÜSLÜ DOĞAL SAYILAR
Bir doğal sayının üslü biçimde yazılması
üs
53 = 5 . 5 . 5
3 tane
taban
Yukarıdaki 53 ifadesine üslü ifade denir . Üslü ifade tabanının üs kadar yan yana yazılıp çarpılması demektir .
Bir sayının üssü , o sayıdan kaç tanesinin yan yana yazılıp çarpılacağını gösterir .
Özel olarak bir sayının 2 . kuvvetine sayının karesi , 3 . kuvvetine sayının küpü denir .
43 ifadesi “dördün küpü” şeklinde okunur .
23 = 2 . 2 . 2 = 4 . 2 = 8
34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 9 . 9 = 81
Üslü bir sayma sayısının değerini bulup yazma Üslü bir sayma sayısının değeri , sayının üssü kadar yan yana yazılıp çarpılması ile bulunur .
Örnek
43 = 4 . 4 . 4 = 16 . 4 = 62
53 = 5 . 5 . 5 = 25 . 5 = 125
24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 4 . 4 = 16
Not :
- 1 in bütün kuvvetleri 1 e eşittir
- Üssü 1 olan doğal sayı kendine eşittir ve ayrıca her doğal sayı üssü 1 olan bir üslü sayıdır
- Üssü 0 olan doğal sayı 1 e eşittir
- 0 ın bütün üsleri 0 dır
10 un üsleri
üslü ifade çarpan değeri
100 1 1
101 10 10
102 10 . 10 100
103 10 . 10 . 10 1000
104 10 . 10 . 10 . 10 10000
105 10 . 10 . 10 . 10 . 10 100000
106 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 1000000
107 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 10000000
108 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 100000000
109 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 1000000000
Üslü doğal sayılarda sıralama 1- Eğer üslü ifadelerin tabanları aynı üsleri farklı ise; üssü büyük olan büyüktür .
2- Eğer üslü ifadelerin üsleri aynı tabanları farklı ise; tabanı büyük olan büyüktür .
3- Tabanları ve üsleri farklı ise; bu durumda karşılaştırma yapmamız için sayıların değerini bulmalıyız , daha sonra sıralayabiliriz .
Not Üslü bir ifadede
üsle taban yer değiştirilirse sayı değişir .
Onluk sayma sisteminde verilen bir sayıyı çözümleme Bir sayıyı basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazmaya sayıyı çözümleme denir .
Örnek: 204 sayısının çözümleyin
204
4 4 . 1 = 4
0 0 . 10 = 0
2 2 . 100 = 200
204 = 4 . 1 + 0 . 10 + 2 . 100
bunu 10 un üslü biçimi ile yazarsak
204 = 4 . 100 + 0 . 101 + 2 . 102
Onluk sistemde çözümlenmiş bir sayıyı yazma ve okuma Çözümlenerek verilmiş bir sayıyı toplarsak sayının kendini buluruz .
5 . 103 + 1 . 102 + 0 . 101 + 4 . 100 = 5000 + 100 + 0 + 4
= 5104
DEĞERLENDİRME:
1- 4 ün 6 . Kuvveti ile üslü biçimde yazın
2- 73 ün değeri nedir?
3- 10 un 5 . Kuvveti nedir?
4- 53 , 51 , 52 üslü ifadelerini sıralayın
5- 3501 sayısını çözümleyin
6- 3 . 104 + 5 . 103 + 0 . 102 + 8 . 101 + 2 . 100 çözümlenmiş sayısının değerini bulun
DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ Toplama işlemi sayı doğrusu üzerinde ileriye doğru saymanın kısa yoldan yapılışıdır .
Örnek:
2 + 52 = 54
Örnek:
213
751
102
+_____
1066
Örnek:
34 + 652 + 103 = 789
Örnek:
4a51
12b0
+_____
5541
Yukarıdaki toplamı işleminde a ve b sayıları için a+b = ?
DOĞAL SAYILAR KÜMESİNDE TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1- Kapalılık Özelliği:
Herhangi iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayı olduğu için , doğal sayılar kümesinde toplama işleminin kapalılık özelliği vardır .
Örnek:
3 ile 87 nin toplamı bir doğal sayımıdır?
2- Değişme Özelliği:
Toplanan herhangi iki doğal sayının sırasını değiştirip tekrar toplarsak sonuç değişmediğinden , doğal sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır .
Örnek: ?
4 + 9 = 9 + 4
3- Birleşme Özelliği:
Her hangi üç doğal sayı toplanırken; ilk ikisi ile üçüncüsünün toplamı , son ikisi ile birincinin toplamına eşit olduğundan , doğal sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır .
Örnek: ?
( 3+ 12 ) + 24 = 3 + ( 12 + 24 )
4- Etkisiz Eleman Özelliği:
Her hangi bir doğal sayı ile sıfır toplandığında sonuç ilk doğal sayı olduğundan , doğal sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı vardır ve sıfırdır .
Örnek:
8 + 0 = ?
DEĞERLENDİRME:
1- 6 ile 13 ün toplamı bir doğal sayımıdır?
2- 5 + 8 in yerleri değişerek toplandığında sonuç değişir mi?
3- 24 + ( 41 + 39 ) = ( 24 + 41 ) + 39 olduğunu gösterin .
4- 233 + 0 = ?
DOĞAL SAYILAR KÜMESİNDE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ a ) Kapalılık özelliiği
Her hangi iki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayı olduğu için , doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin kapalılık özelliği vardır .
b ) Değişme özelliği
Bir çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmeyeceğinden , Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır .
c ) Birleşme özelliği
Her hangi üç doğal sayı çarpılırken; ilk ikisinin çarpımı ile üçüncüsünün çarpımı , son ikisinin çarpımı ile ilkinin çarpımına eşit olduğu için , Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır .
d ) Yutan eleman
Her hangi bir doğal sayı ile sıfırın çarpımı yine sıfır olduğu için Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin yutan elemanı vardır ve sıfırdır .
e ) Etkisiz eleman
Bir doğal sayının bir ile çarpımı bu sayının kendisine eşit olduğundan , doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin etkisiz elemanı birdir .
f ) Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği
a , b , c Î N için
a ( b + c ) = ab + ac
Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır
g ) Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği
a , b , c Î N için
a ( b - c ) = ab - ac
Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır
DEĞERLENDİRME:
1- 3 ile 5 in çarpımı bir doğal sayımıdır?
2- 6 . 8 = 8 . 6 mıdır?
3- 2 . ( 5 . 11 ) = ( 2 . 5 ) 11 midir?
4- 1 . 0 = ?
5- 5 . ( 4 2 ) =? çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanarak yapın
BÖLME İŞLEMİ
Bir doğal sayının 1 e bölünmesi
Bir doğal sayının 1 e bölümü yine kendisidir .
Bölme işleminin özellikleri :
1- Kapalılık özelliği
İki doğal sayının birbirine bölümü her zaman bir doğal sayı olmayacağından dolayı , doğal sayılar kümesinde bölme işleminin kapalılık özelliği yoktur .
2- Değişme özelliği
Bölme işleminde değişme özelliği yoktur
3- Birleşme özelliği
Bölme işleminde birleşme özelliği yoktur
DEĞERLENDİRME :
1- 57 sayısını 3 e bölün
2- 73 sayısını 4 e bölün
3- 92 sayısını 1 e bölün
Sitemizde yer alan tüm içerikler internet ortamından toplanmış ve derlenmiştir. Yer alan bilginin doğruluğu garanti edilmemektedir. Yanlış bilgi için tarafımıza sorumluluk yüklenemez. Yanlış bilginin doğuracağı etkenlerden sitemiz ve yöneticileri sorumlu tutulamaz.
vuhuv.com.tr